Niedrig-Rang-Approximation von BEM-Matrizen
- Mario Bebendorf (Universität des Saarlandes, Saarbrücken)
Abstract
Die bei der Randelement-Methode auftretenden Systemmatrizen sind gross und vollbesetzt. Wenn wir annehmen, dass diese Matrizen durch eine asymptotisch glatte Funktion generiert wurden, kann man zeigen, dass viele Bloecke einen kleinen ε-Rang besitzen. Zu diesem Zweck muessen die Matrizen aber zunaechst passend in diese Bloecke zerlegt werden.
Niedrig-Rang-Matrizen koennen komprimiert gespeichert werden, ausserdem kann man sie effizient mit einem Vektor multiplizieren.Die beste Approximation vom Rang k an eine Matrix ist die Summe über die k groessten Singulaeren Tripel. Die dazu noetige Berechnung der partiellen Singulaerwertzerlegung braucht jeden Eintrag der Matrix, was letztlich zu einem Aufwand von O(N2) führen würde.
Im Vortrag wird ein einfach zu implementierender Algorithmus angegeben, der nur wenige Eintraege der zu approximierenden Matrix benoetigt. Es werden Fehlerabschaetzungen fuer die zur Genauigkeit ε generierte Niedrig-Rang-Approximation angegeben, die zu einem Gesamtaufwand von O(N1+αε-α), α > 0 beliebig klein, fuehren. Weil das Verfahren iterativ ist, ist es moeglich, ein Abbruch-Kriterium zu formulieren.
Am Ende des Vortrags werden einige numerische Beispiele und Vergleiche mit anderen Verfahren gezeigt.
